FRACCIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS
Se le llama fracción algebraica al cociente o división de dos polinomios, el denominador es siempre distinto de cero.

RAICES Y FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

RAICES Y FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Observamos que si a es una raíz del polinomio P(x) cuando x=a el valor numérico del polinomio es cero, según el teorema del resto al dividir el polinomio P(x) entre (x-a) el resto es cero.
1: dividimos el polinomio entre (x-a) siendo a raíz del polinomio, podemos utilizar en estos casos la regla de ruffini.
2: expresamos el polinomio mediante el producto del cociente por termino (x-a)
3: si es necesario sacamos factor común al cociente.
Descomponemos el siguiente polinomio en producto de factores.
Como vemos, se ha descompuesto el polinomio inicial en el producto de factores.

SACAR FACTOR COMUN DE UN POLINOMIO

ALGEBRA
SACAR FACTOR COMUN DE UN POLINOMIO
Al sacar factor común se consigue expresar una suma o resta algebraica por medio de una multiplicación o producto.
1: observamos la letra o letra que se repiten en los términos de la suma o resta.
El término que se repite es el factor común.                                           

TEOREMA DEL RESTO


ALGEBRA
TEOREMA DEL RESTO
El teorema del resto afirma que el valor numérico de un polinomio P(x) cuando x=a coincide con el resto de la división P(x)÷(x-a)
Este teorema es muy útil para conocer el valor numérico de un polinomio utilizando la regla de ruffini.
Calculamos el valor numérico del polinomio siguiente mediante el teorema del resto.
Como vemos, si damos el valor 3 al polinomio P(x) su valor numérico coincide con el resto de la operación anterior, QUE ES 5

RAICES DE UN POLINOMIO


MATEMATICAS-ALGEBRA
RAICES DE UN POLINOMIO
Un numero es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio P(x) en el que x=a es cero es decir P(a)=0
Las raíces de un polinomio con coeficientes enteros están entre los divisores del término independiente.
1: un número a es raíz del polinomio P(x) cuando al sustituir x por a el valor numérico del polinomio es cero.
2: el numero de raíces de un polinomio siempre es menor o igual que el grado del polinomio.
En el polinomio siguiente notamos que las raíces las encontramos entre los divisores del termino independiente, estos divisores los tomamos en signo negativo y positivo.

Pafnuty Chebyshev


Pafnuty Chebyshev
hebyshev nació en el pueblo de Okatovo en el distrito de Borovsk , provincia de Kaluga . Su padre, Lev Pavlovich, fue un noble ruso y rico terrateniente. Pafnuty Lvovich fue educado primero en casa de su madre Agrafena Ivanovna (en lectura y escritura) y por su primo Avdotia Kvintillianovna Sukhareva (en francés y aritmética). Chebyshev mencionó que su profesor de música también jugó un papel importante en su educación, para que "levantó su mente a la exactitud y el análisis."
Una discapacidad física (de causa desconocida) afectados adolescencia Chebyshev y el desarrollo. Desde la infancia, cojeaba y caminaba con un palo y lo que sus padres abandonaron la idea de su llegar a ser oficial en la tradición familiar. Su discapacidad le impidió jugar muchos juegos de los niños y se dedicó en cambio a las matemáticas.

MATEMATICAS: PROBABILIDAD-COMBINACIONES


MATEMATICAS
PRBABILIDAD  COMBINACIONES
Las combinaciones de n elementos tomados de m en m cuentan el número de grupos diferentes que se pueden formar con m elementos distintos, elegidos de un conjunto de n elementos.
1: no influye el orden.
2: ninguno puede estar repetido.
Para calcular las combinaciones utilizamos la siguiente formula.
En el juego de la lotería, el premio mayor es acertar 8 números de 53.
¿Cuántos boletos tendría que comprar para asegurarme que ganare el premio mayor?
1: tenemos que calcular el número de grupos diferentes de 8 números de entre 53 diferentes.
2: influye el orden y no se pueden repetir.
Supongamos que cada boleto cuesta 1$, el dinero que tendríamos que gastar para ganar seguro el premio mayor seria $886322710


MATEMATICAS : PROBABILIDAD-PERMUTACIONES


MATEMATICAS
PROBABILIDAD  PERMUTACIONES
Las permutaciones son una variación en las que, el número de elementos m para formar un grupo es igual al número total de elementos n, es decir m=n
La permutación es igual a n!

MATEMATICAS: PROBABILIDAD-VARIACIONES


MATEMATICAS
PROBABILIDAD                     VARIACIONES
Las variaciones nos sirven para contar los diferentes grupos de g elementos que se pueden formar con un conjunto de e elementos,
Estos elementos no se pueden repetir e influye el orden en el que están colocados.
Para calcular los grupos realizamos la siguiente operación.

Variaciones con elementos que se pueden repetir.
Para calcular los grupos que se pueden formar con cierto número de elementos que se pueden repetir realizamos la siguiente operación.
De cuantas formas pueden llegar a la meta 8 corredores tomando las tres primeras posiciones en una carrera de 100 metros.
Primero tenemos que saber que tipo de variación es.
1: queremos saber cuántos grupos de 3 elementos se pueden formar con un total de 8 elementos.
2: en estos grupos influye el orden y no se pueden repetir.
Se pueden formar 336 grupos diferentes con 8 corredores tomando las tres primeras posiciones.



REGLA DE RUFFINI

REGLA DE RUFFINI
es muy útil para realizar la división de un polinomio entre un binomio.

DIVISION DE POLINOMIOS


DIVISION DE POLINOMIOS
Para poder dividir polinomios es necesario que el grado del dividendo sea igual o mayor que el grado del divisor.
Para realizar la división se siguen estos pasos.
1: el primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.
2: este resultado se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado de le resta al dividendo.
3: con el nuevo dividendo se repite el proceso hasta que el resultado sea de menor grado que el divisor.
Cuando el resto es 0 esta es una división exacta. 




Paolo Ruffini


Paolo Ruffini
Paolo Ruffini (Valentano, 22 de septiembre de 1765 – Módena, 10 de mayo de 1822) fue un matemático y médico italiano.
Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano, Estados Papales, y murió el 10 de mayo de 1822 en Módena, actual Italia. Su padre, Basilio Ruffini, era médico en Valentano. De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Su familia se mudó a Reggio, en el ducado de Módena, en el norte de la actual Italia y Paolo entró en la universidad de Módena en 1783 para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura.
Entre sus profesores estaba Luigi Fantini, que le enseñó geometria y Paolo Cassiani que le enseñó cálculo. En aquel entonces, la familia Este gobernaba Módena y en 1787, Cassiani fue elegido concejal, teniendo que dejar la universidad. Así fue como el curso de Cassiani sobre los fundamentos del análisis fue impartido por Ruffini durante el curso 1787-88 cuando todavía era estudiante. Finalmente, el 9 junio de 1788 Ruffini se graduó en filosofía, medicina y cirugía. Poco después consiguió su grado en matematicas.
El 15 de octubre de 1788, fue nombrado profesor de fundamentos de análisis. Después, Fantini, que le había enseñado geometría perdió poco a poco la vista y tuvo que renunciar a su puesto. Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin embargo, Ruffini no era sólo matemático. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en Módena.
Después de la revolución francesa, era tiempo de guerra. A principios de 1795 Francia obtenía victorias en todos los frentes. En el norte de Italia las tropas francesas amenazaban las posiciones austro-sardas. En marzo de 1796 Napoleón Bonaparte tomó el mando de la campaña. Derrotó a esas tropas y marchó sobre Turin. El rey de Cerdeña pidió un armisticio y como resultado Niza y la Saboya fueron anexionadas a Francia. Bonaparte continuó la guerra contra los austríacos y ocupó Milán pero fue retenido en Mantua. Firmó armisticios con los duques de Parma y de Módena. Después ocupó Módena y, contra sus deseos, Ruffini se encontró en medio de todo este trastorno político.

Gottfried Leibniz


Gottfried Leibniz
Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas."2 De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.

Issac Newton


Isaac Newton (1643-1727)
Fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO

VALOR NÚMERICO DE POLINOMIOS

Es el resultado que obtenemos al sustituir las variables o letras por valores numéricos y despejar la operación.

Se dice que el valor numérico del polinomio P(x) cuando x=a (x es la variable y a es el valor numérico el cual puede ser cualquier número real) se representa por P(a) y es el resultado de sustituir x por a en el polinomio.

SUMA POR RESTA O DIFERENCIA


SUMA POR RESTA O DIFERENCIA
En este caso tenemos la suma de dos monomios multiplicada por la resta de esos mismos monomios, este producto es igual a la resta del cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del segundo.


CUADRADO DE UNA RESTA O DIFERENCIA


CUADRADO DE UNA RESTA O DIFERENCIA
El cuadrado de la resta de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.
Es importante recordar esta propiedad pues es muy útil al resolver problemas algebraicos.

CUADRADO DE UNA SUMA


CUADRADO DE UNA SUMA
El cuadrado de la suma de dos monomios lo podemos expresar de diferentes formas.
Se le llama factorizar al descomponer una expresión en un producto de dos o más términos y esto es muy útil para resolver problemas algebraicos.
El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.
Es muy importante memorizar esta propiedad pues es muy útil al resolver problemas algebraicos.


BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON
Un binomio es un polinomio formado por dos monomios o términos, newton desarrollo una fórmula para calcular potencias de un binomio, esto mediante los números combinatorios, mediante esta fórmula podemos expresar potencias de un binomio como la suma de varios términos y los coeficientes de estos términos los podemos hallar mediante el triángulo de tartaglia.
Si observamos con atención podemos comprobar que, las potencias de a van en orden descendente, en el primer término no colocamos la potencia de b porque es a la cero potencia y no tendría caso colocar ese producto porque es por 1 y seria el mismo, el término b va en orden ascendente comenzando con la potencia de b elevado a 0 hasta llegar a su máxima potencia. también observamos que los coeficientes coinciden con los del triángulo de tartaglia con respecto al número de fila que ocupan, es muy importante memorizar el triángulo te tartaglia pues es de gran utilidad para resolver estas potencias de un binomio.
Calculemos.


Srinivasa Aiyangar Ramanujan


Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, en tamil : ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன், (Erode 22 de diciembre de 1887 - Kumbakonam 26 de abril de 1920) fue un matemático indio muy enigmático. De familia humilde, a los siete años asistió a una escuela pública gracias a una beca. Recitaba a sus compañeros de clase fórmulas matemáticas y cifras de π.
A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6.000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación matemática básica. En 1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque sólo se dedicaba a sus diversiones matemáticas.
En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo Godfrey Harold Hardy, de Cambridge. Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con su amigo John Edensor Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su propia escala de valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después.

TRIANGULO DE TARTAGLIA

TRIANGULO DE TARTAGLIA
Este triangulo ésta compuesto por números combinatorios, una de sus propiedades es que si sumamos los números de cada fila obtenemos, dependiendo de la fila el numero 2 elevado al número de fila.

NICOLAS TARTAGLIA


Nicolás Tartaglia (1499-1557)
Nacido en la ciudad de Brescia (Italia), durante el saqueo de los franceses en 1512 resultó herido en el rostro, lo que le causó una tartamudez de por vida, y por eso, se le conoce como Tartaglia o Tartamudo.
Su obra más importante es General trattato di numeri et misure. En ella se desarrollan contenidos de álgebra, geometría práctica y aritmética.
Enseñó en las Universidades de Verona, Brescia y Venecia, ciudad donde murió.
También se le conoce por el triangulo de tartaglia, en el cual quedan reflejadas las propiedades de los números combinatorios.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS
Los números combinatorios tienen dos propiedades.
En este caso, la suma de los números inferiores 2+3 es igual al número superior, cuando esto ocurre los números combinatorios son iguales.
La segunda propiedad se refiere a la suma de dos números combinatorios que tienen los números superiores iguales y los inferiores consecutivos, en esta propiedad podemos verificar que.


NUMEROS COMBINATORIOS

NUMEROS COMBINATORIOS
Un numero combinatorio ésta compuesto por el factorial de dos números, lo representamos por.
Este tipo de números se definen como m sobre n (ver factorial de un numero natural), se calcula mediante la siguiente formula.
Con los numero combinatorios podemos realizar las operaciones básicas, (suma, resta, multiplicación y división) para calcularlas basta con calcular primero el número combinatorio y después la operación.
Continua aprendiendo.
Propiedades de los números combinatorios


FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL

FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
El factorial de un número natural se escribe como n! y se calcula multiplicando todos los números naturales inferiores a él.

En el caso del número cero, se considera que 0!=1

Leonhard Euler

Leonhard Euler
Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: Lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Evariste Galois


Évariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un matemático francés nacido en Bourg-la-Reine. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema que había permanecido sin resolver. Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, una rama principal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático. La teoría constituye una de las bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los Sistemas de navegación por satélite, como GPS, GLONASS, etc.

PRODUCTO O MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

PRODUCTO O MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Para multiplicar dos polinomios se multiplican todos los términos del primero por cada termino del segundo, después se suman los polinomios obtenidos de esas multiplicaciones.
Los podemos disponer en forma de columna para facilitar su cálculo.
Como podemos observar primero multiplique cada término de T(x) por todos los términos de P(x), después a los resultados los ordene en columna con su monomio semejante y posteriormente sume los resultados para así obtener la multiplicación de P(x)T(x). También tenemos que observar que obtuve el término de 3er grado porque la parte literal de cada termino es una potencia y operamos, el coeficiente por un lado y la parte literal por otro (ver multiplicación de monomios, y de potencias).


SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar o restar dos o más polinomios sumamos o restamos sus términos semejantes, como en las operaciones con números, también podemos disponerlos en forma de columna para facilitar su cálculo, debemos tener en cuenta que por ser términos negativos y positivos se comportan como los números enteros y por lo tanto usamos las mismas reglas para las operaciones.




POLINOMIOS

POLINOMIOS
Un polinomio esta formado por la suma de dos o más monomios no semejantes, a los monomios que lo forman se les llama términos del polinomio.
Los polinomios los representamos con una expresión del tipo P(x), quiere decir que es de variable x.
Los polinomios del tipo P(x,y) contienen dos variables.
Los polinomios son reducidos cuando no contienen monomios semejantes, los polinomios se pueden reducir sumando sus monomios semejantes.
Los polinomios son ordenados cundo, de izquierda a derecha van en orden descendente de acuerdo al grado de cada termino.
El grado de un polinomio reducido y ordenado es el grado del término de mayor grado.
Se le llama término independiente de un polinomio al monomio de grado cero, en los ejemplos siguientes los términos independientes son +6 y +5, los términos independientes también se deben reducir.
Se dice que un polinomio es opuesto a otro cuando P(x) –P(x), esto quiere decir que los términos del polinomio son de distinto signo. 

Búsqueda personalizada